Какие числа делятся на 7 без остатка. Основные признаки делимости

Добрый день!
Сегодня мы продолжим рассматривать признаки делимости.
И начнём мы вот с чего:
Берём последнюю цифру числа, удваиваем её и вычитаем из числа, которое осталось без этой последней цифры. Если разность делится на 7, значит всё число делится на 7. Это действие можно продолжать сколь угодно много раз до того момента, пока не станет понятно: делится или нет число на 7.

Пример: 298109.
1-й шаг. Берём 9, умножаем её на 2 и производим вычитание:
29810-18=29792.
2-й шаг. 29792. Берём 2, умножаем её на 2 и производим вычитание:
2979-4 = 2975.
3-й шаг. 2975. Берём 5, умножаем на 2 и производим вычитание: 297-10=287.
4-й шаг. 287. Берём 7, умножаем на 2 и производим вычитание 28-14=14. Делится на 7.
Значит всё число 298109 делится на 7.

Ещё пример. Число 1102283.
1-й шаг. 110228-3*2 = 110222
2-й шаг. 11022-2*2 = 11018.
3-й шаг. 1101-8*2 = 1085.
4-й шаг. 108-5*2 = 98.
5-й шаг. 9-8*2 = -7. Делится на 7. Значит, 1102283 делится на 7.

Признак делимости на 13. Берём последнюю цифру числа, умножаем её на 4 и складываем с числом без последней цифры. Если сумма делится на 13, значит все число делится на 13.
Это действие можно продолжать сколь угодно много раз до того момента, пока не станет понятно: делится или нет число на 13.
Пример: Число 595166.
1-й шаг. 59516 + 6*4 = 59540
2-й шаг. 5954 + 0*4 = 5954
3-й шаг. 595 + 4*4 = 611
4-й шаг. 61 + 1*4 = 65
5-й шаг. 6 + 5*4 = 26. Делится на 13.
Значит, число 595166 делится нацело на 13.

Ещё пример. Число 10221224.
1-й шаг. 1022122 + 4*4 = 1022138
2-й шаг. 102213 + 8*4 = 102245
3-й шаг. 10224 + 5*4 = 10244
4-й шаг. 1024 + 4*4 = 1040
5-й шаг. 104 + 0*4 = 104
6-й шаг. 10 + 4*4 = 26. Делится на 13.
Значит, число 10221224 делится нацело на 13.

Теперь я бы хотел показать несколько других признаков делимости и не только на простые числа, но и на составные.

Признак делимости на 11. Возьмём число и сложим все цифры, которые стоят на нечётных местах. Затем сложим все цифры числа, которые стоят на чётных местах.
Если разность между первой суммой и второй кратна 11, то всё число делится на 11.
При этом разность может быть как положительна, так и отрицательна.
Примеры: 160369 (Сумма цифр, которые стоят на нечётных местах
1+0+6 = 7. Сумма цифр, которые стоят на чётных местах 6+3+9 = 18.
18 — 7 = 11. Делится на 11. Значит, число 160369 делится на 11).
Ещё пример: 7527927 (7+2+9+7 = 25. 5+7+2 = 14. 25 — 14 = 11.
Число 7527927 делится на 11).

Признак делимости на 15. Число 15 — составное. Его можно представить в виде произведения простых множителей, а именно 5 и 3.
А мы уже знаем Значит, число делится на 15, если
1. — оно заканчивается на 0 или 5;

Пример: 36840 (Число оканчивается на 0; сумма цифр его равна 3+6+8+4 = 21. Делится на 3.) Значит, все число делится на 15.
Ещё пример: 113445 Число оканчивается на 5; сумма цифр его равна 1+1+3+4+4+5 = 18. Делится на 3.) Значит, всё число делится на 15.

Признак делимости на 12. Число 12 — составное. Его можно представить в виде произведения следующих множителей: 4 и 3.
Значит, число делится на 12, если
1. — 2 последние цифры его делятся на 4;
2. — сумма цифр его делится на 3.
Примеры: 78864 (Две последние цифры — 64. Число, составленное из них, делится на 4; сумма цифр равна 7+8+8+6+4 = 33. Делится на 3.) Значит, всё число делится на 12.
Ещё пример: 943908 (Две последние цифры — 08. Число, составленное из этих цифр, делится на 4; сумма цифр равна 9+4+3+9+0+8 = 33.
Делится на 3.) Значит, всё число делится на 12.

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

Например:
2, 8, 16, 24, 66, 150 — делятся на 2 , так как последняя цифра этих чисел четная;
3, 7, 19, 35, 77, 453 — не делятся на 2 , так как последняя цифра этих чисел нечетная.

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Например:
471 — делится на 3 , так как 4+7+1=12, и число 12 делится на 3;
532 — не делится на 3 , так как 5+3+2=10, а число 10 не делится на 3.

Признак делимости на 4

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 4. Двузначное число делится на 4 тогда и только тогда, когда удвоенное число десятков, сложенное с числом единиц делится на 4.

Например:
4576 — делится на 4 , так как число 76 (7·2+6=20) делится на 4;
9634 — не делится на 4 , так как число 34 (3·2+4=10) не делится на 4.

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда, когда последняя цифра делится на 5, т.е. если она 0 или 5.

Например:
375, 5680, 233575 — делятся на 5 , так как их последняя цифра равна 0 или 5;
9634, 452, 389753 — не делятся на 5 , так как их последняя цифра не равна 0 или 5.

Признак делимости на 6

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится и на 2, и на 3, то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3.

Например:
462, 3456, 24642 — делятся на 6 , так как они делятся одновременно и на 2 и на 3;
6 , так как 861 не делится на 2, 3458 не делится на 3, 34681 не делится на 2.

Признак делимости на 7

Число делится на 7 , если разность между числом десятков и удвоенной цифрой единиц делится на 7.

Например:

Число 296492
Берем последнюю цифру "2", удваиваем, получаем 4. Вычитаем 29649-4=29645. Неизвестно, делится ли оно на 7. Поэтому проверим снова.
Берем последнюю цифру "5", удваиваем, получаем 10. Вычитаем 2964-10=2954. Неизвестно, делится ли оно на 7. Поэтому проверим снова.
Берем последнюю цифру "4", удваиваем, получаем 8. Вычитаем 295-8=287. Неизвестно, делится ли оно на 7. Поэтому проверим снова.
Берем последнюю цифру "7", удваиваем, получаем 14. Вычитаем 28-14=14. Число 14 делится на 7, значит и исходное число делится на 7

Признак делимости на 8

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8. Трёхзначное число делится на 8 тогда и только тогда, когда число единиц, сложенное с удвоенным числом десятков и учетверённым числом сотен, делится на 8.

Например:

952 делится на 8 так как на 8 делится 9*4+5*2+2=48

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Например:
468, 4788, 69759 — делятся на 9 , так как сумма их цифр делится на девять (4+6+8=18, 4+7+8+8=27, 6+9+7+5+9=36);
861, 3458, 34681 — не делятся на 9 , так как сумма их цифр не делится на девять (8+6+1=15, 3+4+5+8=20, 3+4+6+8+1=22).

Признак делимости на 10

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на нoль.

Например:
460, 24000, 1245464570 — делятся на 10 , так как последняя цифра этих чисел равна нулю;
234, 25048, 1230000003 — не делятся на 10 , так как последняя цифра этих чисел не равна нулю.

Признак делимости на 11

Признак 1: число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётные позиции, и суммой цифр, занимающих чётные места делится на 11.

Например, 9163627 делится на 11, так как делится на 11.

Другой пример — 99077 делится на 11, так как делится на 11.

Признак 2: число делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).

Например, 103785 делится на 11, так как на 11 делятся и

Признак делимости на 13

Признак 1: Число делится на 13 тогда, когда сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13.

Например 845 делится на 13, так как на 13 делятся и

Признак 2: Число делится на 13 тогда, когда разность числа десятков с девятикратным числом единиц делится на 13.

Например 845 делится на 13, так как на 13 делятся

Признак делимости на 17

Число делится на 17 тогда, когда модуль разности числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17.

Число делится на 17 тогда, когда модуль суммы числа десятков и числа двенадцать умноженной на кол-во единиц делится на 17.

Например, 221 делится на 17, так как делится на 17.

Признак делимости на 19

Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.

Например, 646 делится на 19, так как на 19 делятся и

Признак делимости на 20

Число делится на 20 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя последними цифрами, делится на 20.

Другая формулировка: число делится на 20 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — чётная.

Признаки делимости на 23

Признак 1: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с утроенным числом, образованным двумя последними цифрами, делится на 23.

Например, 28842 делится на 23, так как на 23 делятся и

Признак 2: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с семикратным числом единиц, делится на 23. Например, 391 делится на 23, так как делится на 23.

Признак 3: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с семикратным числом десятков и утроенным числом единиц, делится на 23.

Например, 391 делится на 23, так как делится на 23.

Признак делимости на 25

Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 25.

Признак делимости на 27

Число делится на 27 тогда и только тогда, когда на 27 делится сумма чисел, образующих группы по три цифры (начиная с единиц).

Признак делимости на 29

Число делится на 29 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с утроенным числом единиц, делится на 29.

Например, 261 делится на 29, так как делится на 29.

Признак делимости на 30

Число делится на 30 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 0 и сумма всех цифр делится на 3.

Например: 510 делится на 30, а 678 - нет.

Признак делимости на 31

Число делится на 31 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и утроенного числа единиц делится на 31. Например, 217 делится на 31, так как делится на 31.

Признак делимости на 37

Признак 1: число делится на 37 тогда и только тогда, когда при разбивании числа на группы по три цифры (начиная с единиц) сумма этих групп кратна 37.

Признак 2: число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится модуль утроенного числа сотен, сложенного с учетверённым числом десятков, за вычетом числа единиц, умноженного на семь.

Признак 3: число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится модуль суммы числа сотен с числом единиц, умноженного на десять, за вычетом числа десятков, умноженного на 11.

Например, число 481 делится на 37, так как на 37 делится

Признак делимости на 41

Признак 1: число делится на 41 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и четырёхкратного числа единиц делится на 41.

Например, 369 делится на 41, так как делится на 41.

Признак 2: чтобы проверить, делится ли число на 41, его следует справа налево разбить на грани по 5 цифр в каждой. Затем в каждой грани первую справа цифру умножить на 1, вторую цифру умножить на 10, третью — на 18, четвёртую — на 16, пятую — на 37 и все полученные произведения сложить. Если результат будет делиться на 41, тогда и только тогда само число будет делиться на 41.

Признак делимости на 50

Число делится на 50 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его младшими десятичными цифрами, делится на 50.

Признак делимости на 59

Число делится на 59 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 6, делится на 59. Например, 767 делится на 59, так как на 59 делятся и

Признак делимости на 79

Число делится на 79 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 8, делится на 79. Например, 711 делится на 79, так как на 79 делятся .

Признак делимости на 99

Число делится на 99 тогда и только тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц). Например, 12573 делится на 99, так как на 99 делится

Признак делимости на 101

Число делится на 101 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по две цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 101.

Например, 590547 делится на 101, так как на 101 делится

Правило

Признак делимости на 7

Чтобы определить, делится ли число на \(\displaystyle 7\), надо:

1. Взять исходное число без последней цифры.

2. К полученному на первом шаге числу прибавить последнюю цифру исходного числа, умноженную на \(\displaystyle 5\).

Число делится на \(\displaystyle 7\) тогда и только тогда, когда сумма, полученная на втором шаге, делится на \(\displaystyle 7\).

Пояснение

Признак делимости на 7 для четырехзначных чисел

Для четырехзначного числа признак делимости на \(\displaystyle 7\) можно сформулировать следующим образом:

1. \(\displaystyle {\color{blue}X}{\color{red}Y}{\color{green}Z}{\color{blue}W} \rightarrow {\color{blue}X}{\color{red}Y}{\color{green}Z}\).

2. \(\displaystyle {\color{blue}X}{\color{red}Y}{\color{green}Z}+5\cdot{\color{blue}W}\).

Число \(\displaystyle {\color{blue}X}{\color{red}Y}{\color{green}Z}{\color{blue}W}\) делится на \(\displaystyle 7\) тогда и только тогда, когда число \(\displaystyle {\color{blue}X}{\color{red}Y}{\color{green}Z}+5\cdot{\color{blue}W}\) делится на \(\displaystyle 7\).

Дано число \(\displaystyle 2367\). Произведем вычисления в соответствии с описанным выше правилом.

\(\displaystyle {\color{blue}2}{\color{red}3}{\color{green}6}{\color{blue}7} \rightarrow {\color{blue}2}{\color{red}3}{\color{green}6}\).

2. Вычисляем:

\(\displaystyle {\color{blue}2}{\color{red}3}{\color{green}6}+5 \cdot {\color{blue}7} = 271\).

Число \(\displaystyle 2367\) делится на \(\displaystyle 7\) тогда и только тогда, когда число \(\displaystyle 271\) делится на \(\displaystyle 7\).

Проверим, делится ли на на \(\displaystyle 7\) трехзначное число \(\displaystyle 271\, (={\color{blue}X}{\color{red}Y}{\color{green}Z})\). Тогда \(\displaystyle {\color{blue}X=2}, {\color{red}Y=7}, {\color{green}Z=1}\).

1. Отбрасываем последнюю цифру у исходного числа:

\(\displaystyle {\color{blue}2}{\color{red}7}{\color{green}1} \rightarrow {\color{blue}2}{\color{red}7}\).

2. Вычисляем:

\(\displaystyle {\color{blue}2}{\color{red}7}+5 \cdot {\color{green}1} = 32\).

Число \(\displaystyle 271\) делится на \(\displaystyle 7\) тогда и только тогда, когда число \(\displaystyle 32\) делится на \(\displaystyle 7\).

Так как \(\displaystyle 32\) не делится на \(\displaystyle 7\), то и \(\displaystyle 271\) также не делится на \(\displaystyle 7\).

Так как \(\displaystyle 271\) не делится на \(\displaystyle 7\), то и \(\displaystyle 2367\) также не делится на \(\displaystyle 7\).

Ответ: нет, не делится на \(\displaystyle 7\).

Математика в 6 классе начинается с изучения понятия делимости и признаков делимости. Часто ограничиваются признаками делимости на такие числа:

• На 2 : последняя цифра должна быть 0, 2, 4, 6 или 8;
• На 3 : сумма цифр числа должна делиться на 3;
• На 4 : число, образованное последними двумя цифрами, должно делиться на 4;
• На 5 : последняя цифра должна быть 0 или 5;
• На 6 : число должно обладать признаками делимости на 2 и на 3;
• Признак делимости на 7 часто пропускается;
• Редко таже рассказывают и о признаке делимости на 8 , хотя он аналогичен признакам делимости на 2 и на 4. Чтобы число делилось на 8, необходимо и достаточно, чтобы трёхцифреное окончание делилось на 8.
• Признак делимости на 9 знают все: сумма цифр числа должна делиться на 9. Что, правда, не развивает иммунитет против всяческих трюков с датами, которые используют нумерологи.
• Признак делимости на 10 , наверное, самый простой: число должно оканчиваться нулём.
• Иногда шестиклассникам рассказывают и о признаке делимости на 11 . Нужно цифры числа, стоящие на чётных местах сложить, из результата вычесть цифры, стоящие на нечётных местах. Если результат будет делиться на 11, то и само число делится на 11.

Вернёмся теперь к признаку делимости на 7. Если о нём рассказывают, тот объединяют с признаком делимости на 13 и советуют использовать так.

Берём число. Разбиваем его на блоки по 3 цифры в каждом (самый левый блок может содержать одну или 2 цифры) и попеременно складываем/вычитаем эти блоки.

Если результат делится на 7, 13 (или 11), то и само число делится на 7, 13 (илb 11).

Основан этот способ, как и ряд математических фокусов на том, что 7х11х13 = 1001. Однако что делать с трехзначными числами, для которых вопрос делимости, бывает, тоже не решить без самого деления.

Используя универсальный признак делимости , можно построить относительно простые алгоритмы определения, делится ли число на 7 и другие "неудобные" числа.

Усовершенствованный признак делимости на 7
Чтобы проверить, делится ли число на 7, надо от числа отбросить последнюю цифру и от получившегося результата эту цифру дважды отнять. Если результат делится на 7, то и само число делится на 7.

Пример 1:
Делится ли на 7 число 238?
23-8-8 = 7. Значит, число 238 делится на 7.
Действительно, 238 = 34х7

Это действие можно проводить многократно.
Пример 2:
Делится ли на 7 число 65835?
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
63 делится на 7 (если бы мы этого не заметили, то могли бы сделать ещё 1 шаг: 6-3-3 = 0, а 0 уж точно делится на 7).

Значит, и число 65835 делится на 7.

На основе универсиального признака делимости, можно усовершенствовать признаки делимости на 4 и на 8.

Усовершенствованный признак делимости на 4
Если половина числа единиц в сумме с числом десятков - чётнное число, то число делится на 4.

Пример 3
Делится ли число 52 на 4?
5+2/2 = 6, число чётное, значит, число на 4 делится.

Пример 4
Делится ли число 134 на 4?
3+4/2 = 5, число нечётное, значит, 134 на 4 не делится.

Усовершенствованный признак делимости на 8
Если сложить удвоенное число сотен, число десятков и половину числа единиц, и результат будет делиться на 4, то само число делится на 8.

Пример 5
Делится ли число 512 на 8?
5*2+1+2/2 = 12, число делится на 4, значит, 512 делится на 8.

Пример 6
Делится ли число 1984 на 8?
9*2+8+4/2 = 28, число делится на 4, значит, 1984 делится на 8.

Признак делимости на 12 - это объединение признаков делимсоти на 3 и на 4. Это же работает и для любых n, являющихся произведением взаимнопростых p и q. Чтобы число делилось на n (которое равно произведению pq,актих, что НОД(p,q)=1), одно должно делиться одновремено на p и на q.

Однако будьте внимательны! Чтобы работали составные признаки делимости, множители числа должны быть именно взаимнопростыми. Нельзая сказать, что число делится на 8, если оно делится на 2 и на 4.

Усовершенствованный признак делимости на 13
Чтобы проверить, делится ли число на 13, надо от числа отбросить последнюю цифру и к получившемуся результату её четырежды прибавить. Если результат делится на 13, то и само число делится на 13.

Пример 7
Делится ли на 8 число 65835?
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43

Число 43 не делится на 13, значит, и число 65835 не делится на 13.

Пример 8
Делится ли на 13 число 715?
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
13 делится на 13, значит, и число 715 делится на 13.

Признаки делимости на 14, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 28 и прочие составные числа, не являющиеся степенями простых, аналогичны признакам делимости на 12. Мы проверяем делимость на взаимно-простыем множители этих чисел.

• Для14: на 2 и на 7;
• Для 15: на 3 и на 5;
• Для 18: на 2 и на 9;
• Для 21: на 3 и на 7;
• Для 20: на 4 и на 5 (или, по-другому, последняя цифра должна быть нулём, а предпоследняя - чётной);
• Для 24: на 3 и на 8;
• Для 26: на 2 и на 13;
• Для 28: на 4 и на 7.

Усовершенствованный признак делимости на 16.
Вместо того, чтобы проверять, делится ли 4-циферное окончание числа на 16, можно сложить цифру единиц с увеличенной в 10 раз цифрой десятков, с учетверённой цифрой сотен и с
увеличенной в восемь раз цифрой тысяч, и проверить, делится ли результат на 16.

Пример 9
Делится ли число 1984 на 16?
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
30 не делится на 16, значит, и 1984 не делится на 16.

Пример 10
Делится ли число 1526 на 16?
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
48 не делитсся на 16, значит, и 1526 делится на 16.

Усовершенствованный признак делимости на 17.
Чтобы проверить, делится ли число на 17, надо от числа отбросить последнюю цифру и от получившегося результата эту цифру пять раз отнять. Если результат делится на 13, то и само число делится на 13.

Пример 11
Делится ли число 59772 на 17?
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
0 делится на 17, значит и число 59772 делится на 17.

Пример 12
Делится ли число 4913 на 17?
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
17 делится на 17, значит и число 4913 делится на 17.

Усовершенствованный признак делимости на 19.
Чтобы проверить, делится ли число на 19, надо удвоенную последнюю цифру прибавить к числу, оставшемуся после отбрасывания последней цифры.

Пример 13
Делится ли число 9044 на 19?
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
19 делится на 19, значит и число 9044 делится на 19.

Усовершенствованный признак делимости на 23.
Чтобы проверить, делится ли число на 23, надо последнюю цифру, увеличенную в 7 раз, прибавить к числу, оставшемуся после отбрасывания последней цифры.

Пример 14
Делится ли число 208012 на 23?
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
Вообще-то, уже можно заметить, что 253 - это 23,