Гармоническое колебание - явление периодического изменения какой-либо величины, при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса или косинуса. Например, гармонически колеблется величина, изменяющаяся во времени следующим образом:
где х - значение изменяющейся величины, t - время, остальные параметры - постоянные: А - амплитуда колебаний, ω - циклическая частота колебаний, - полная фаза колебаний, - начальная фаза колебаний.
Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде
(Любое нетривиальное решение этого дифференциального уравнения - есть гармоническое колебание с циклической частотой )
Виды колебаний
Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия. Чтобы свободные колебания были гармоническими, необходимо, чтобы колебательная система была линейной (описывалась линейными уравнениями движения), и в ней отсутствовала диссипация энергии (последняя вызвала бы затухание).
Вынужденные колебания совершаются под воздействием внешней периодической силы. Чтобы они были гармоническими, достаточно чтобы колебательная система была линейной (описывалась линейными уравнениями движения), а внешняя сила сама менялась со временем как гармоническое колебание (то есть чтобы зависимость от времени этой силы была синусоидальной).
Уравнение гармонических колебаний
|
Уравнение (1)
|
дает зависимость колеблющейся величины S от времени t; это и есть уравнение свободных гармонических колебаний в явном виде. Однако обычно под уравнением колебаний понимают иную запись этого уравнения, в дифференциальной форме. Возьмем для определенности уравнение (1) в виде
дважды продифференцируем его по времени:
Видно, что выполняется следующее соотношение:
которое и называется уравнением свободных гармонических колебаний (в дифференциальной форме). Уравнение (1) является решением дифференциального уравнения (2). Поскольку уравнение (2) - дифференциальное уравнение второго порядка, необходимы два начальных условия для получения полного решения (то есть определения входящих в уравнение (1) констант A и ); например, положение и скорость колебательной системы при t = 0.
Математи́ческий ма́ятник - осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую изматериальной точки, находящейся на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в однородном поле сил тяготения. Период малых собственных колебаний математического маятника длины l неподвижно подвешенного в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения g равен
и не зависит от амплитуды и массы маятника.
Физический маятник - осциллятор, представляющий собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной оси, перпендикулярной направлению действия сил и не проходящей через центр масс этого тела.
(лат. amplitude — величина) — это наибольшее отклонение колеблющегося тела от положения равновесия.
Для маятника это максимальное расстояние, на которое удаляется ша-рик от своего положения равновесия (рисунок ниже). Для колебаний с малыми амплитудами за такое расстояние можно принимать как длину дуги 01 или 02, так и длины этих отрезков.
Амплитуда колебаний измеряется в единицах длины — метрах , санти-метрах и т. д. На графике колебаний амплитуда определяется как макси-мальная (по модулю) ордината синусоидальной кривой, (см. рис. ниже).
Период колебаний.
Период колебаний — это наименьший промежуток времени, через который система, соверша-ющая колебания, снова возвращается в то же состояние, в котором она находилась в начальный момент времени, выбранный произвольно.
Другими словами, период колебаний (Т ) — это время, за которое совершается одно полное ко-лебание. Например, на рисунке ниже это время, за которое грузик маятника перемещается из крайней правой точки через точку равновесия О в крайнюю левую точку и обратно через точку О снова в крайнюю правую.
За полный период колебаний, таким образом, тело проходит путь, равный четы-рем амплитудам. Период колебаний измеряется в единицах времени — секундах , минутах и т. д. Период колебаний может быть определен по известному графику колебаний, (см. рис. ниже).
Понятие «период колебаний», строго говоря, справедливо, лишь когда значения колеблющей-ся величины точно повторяются через определенный промежуток времени, т. е. для гармоничес-ких колебаний. Однако это понятие применяется также и для случаев приблизительно повторяю-щихся величин, например, для затухающих колебаний .
Частота колебаний.
Частота колебаний — это число колебаний, совершаемых за единицу времени, например, за 1 с .
Единица частоты в СИ названа герцем (Гц ) в честь немецкого физика Г. Герца (1857-1894). Если частота колебаний (v ) равна 1 Гц , то это значит, что за каждую секунду совершается одно колебание. Частота и период колебаний связаны соотношениями:
В теории колебаний пользуются также понятием циклической , или круговой частоты ω . Она связана с обычной частотой v и периодом колебаний Т соотношениями:
.
Циклическая частота — это число колебаний, совершаемых за 2π секунд.
Колебаниями
называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебания широко распространены в окружающем мире и могут иметь самую различную природу. Это могут быть механические (маятник), электромагнитные (колебательный контур) и другие виды колебаний.
Свободными
, или собственными
колебаниями, называются колебания, которые происходят в системе предоставленной самой себе, после того как она была выведена внешним воздействием из состояния равновесия. Примером могут служить колебания шарика, подвешенного на нити.
Особую роль в колебательных процессах имеет простейший вид колебаний - гармонические колебания. Гармонические колебания лежат в основе единого подхода при изучении колебаний различной природы, так как колебания, встречающиеся в природе и технике, часто близки к гармоническим, а периодические процессы иной формы можно представить как наложение гармонических колебаний.
Гармоническими колебаниями называются такие колебания, при которых колеблющаяся величина меняется от времени по закону синуса или косинуса .
Уравнение гармонических колебаний имеет вид:
где A - амплитуда колебаний (величина наибольшего отклонения системы от положения равновесия) ; - круговая (циклическая) частота. Периодически изменяющийся аргумент косинуса - называется фазой колебаний . Фаза колебаний определяет смещение колеблющейся величины от положения равновесия в данный момент времени t. Постоянная φ представляет собой значение фазы в момент времени t = 0 и называется начальной фазой колебания . Значение начальной фазы определяется выбором начала отсчета. Величина x может принимать значения, лежащие в пределах от -A до +A.
Промежуток времени T, через который повторяются определенные состояния колебательной системы, называется периодом колебаний . Косинус - периодическая функция с периодом 2π, поэтому за промежуток времени T, через который фаза колебаний получит приращение равное 2π, состояние системы, совершающей гармонические колебания, будет повторяться. Этот промежуток времени T называется периодом гармонических колебаний.
Период гармонических колебаний равен : T = 2π/ .
Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний
ν.
Частота гармонических колебаний
равна: ν = 1/T. Единица измерения частоты герц
(Гц) - одно колебание в секунду.
Круговая частота = 2π/T = 2πν дает число колебаний за 2π секунд.
Графически гармонические колебания можно изображать в виде зависимости x от t (рис.1.1.А), так и методом вращающейся амплитуды (метод векторных диаграмм)
(рис.1.1.Б).
Метод вращающейся амплитуды позволяет наглядно представить все параметры, входящие в уравнение гармонических колебаний. Действительно, если вектор амплитуды А
расположен под углом φ к оси х (см. Рисунок 1.1. Б), то его проекция на ось х будет равна: x = Acos(φ). Угол φ и есть начальная фаза. Если вектор А
привести во вращение с угловой скоростью , равной круговой частоте колебаний, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси х и принимать значения, лежащие в пределах от -A до +A, причем координата этой проекции будет меняться со временем по закону:
.
Таким образом, длина вектора равна амплитуде гармонического колебания, направление вектора в начальный момент образует с осью x угол равный начальной фазе колебаний φ, а изменение угла направления от времени равно фазе гармонических колебаний. Время, за которое вектор амплитуды делает один полный оборот, равно периоду Т гармонических колебаний. Число оборотов вектора в секунду равно частоте колебаний ν.
Гармонические колебания
Графики функций f (x ) = sin(x ) и g (x ) = cos(x ) на декартовой плоскости.
Гармоническое колебание - колебания, при которых физическая (или любая другая) величина изменяется с течением времени по синусоидальному или косинусоидальному закону. Кинематическое уравнение гармонических колебаний имеет вид
,где х - смещение (отклонение) колеблющейся точки от положения равновесия в момент времени t; А - амплитуда колебаний, это величина, определяющая максимальное отклонение колеблющейся точки от положения равновесия; ω - циклическая частота, величина, показывающая число полных колебаний происходящих в течение 2π секунд - полная фаза колебаний, - начальная фаза колебаний.
Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде
(Любое нетривиальное решение этого дифференциального уравнения - есть гармоническое колебание с циклической частотой )
Виды колебаний
Эволюция во времени перемещения, скорости и ускорения при гармоническом движении
- Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия. Чтобы свободные колебания были гармоническими, необходимо, чтобы колебательная система была линейной (описывалась линейными уравнениями движения), и в ней отсутствовала диссипация энергии (последняя вызвала бы затухание).
- Вынужденные колебания совершаются под воздействием внешней периодической силы. Чтобы они были гармоническими, достаточно чтобы колебательная система была линейной (описывалась линейными уравнениями движения), а внешняя сила сама менялась со временем как гармоническое колебание (то есть чтобы зависимость от времени этой силы была синусоидальной).
Применение
Гармонические колебания выделяются из всех остальных видов колебаний по следующим причинам:
См. также
Примечания
Литература
- Физика. Элементарный учебник физики / Под ред. Г. С. Лансберга. - 3 изд. - М ., 1962. - Т. 3.
- Хайкин С. Э. Физические основы механики. - М ., 1963.
- А. М. Афонин. Физические основы механики. - Изд. МГТУ им. Баумана, 2006.
- Горелик Г. С. Колебания и волны. Введение в акустику, радиофизику и оптику. - М .: Физматлит, 1959. - 572 с.
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Гармонические колебания" в других словарях:
Современная энциклопедия
Гармонические колебания - ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ, периодические изменения физической величины, происходящие по закону синуса. Графически гармонические колебания изображаются кривой синусоидой. Гармонические колебания простейший вид периодических движений, характеризуется … Иллюстрированный энциклопедический словарь
Колебания, при которых физическая величина изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса. Графически Г. к. изображаются кривой синусоидой или косинусоидой (см. рис.); они могут быть записаны в форме: х = Asin (ωt + φ) или х … Большая советская энциклопедия
ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ, периодическое движение, такое как движение МАЯТНИКА, атомные колебания или колебания в электрической цепи. Тело совершает незатухающие гармонические колебания, когда оно колеблется вдоль линии, перемещаясь на одинаковое… … Научно-технический энциклопедический словарь
Колебания, при к рых физ. (или любая другая) величина изменяется с течением времени по синусоидальному закону: x=Asin(wt+j), где x значение колеблющейся величины в данный. момент времени t (для механич. Г. к., напр., смещение или скорость, для… … Физическая энциклопедия
гармонические колебания - Механические колебания, при которых обобщенная координата и (или) обобщенная скорость изменяются пропорционально синусу с аргументом, линейно зависящим от времени. [Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 106. Механические колебания. Академия наук … Справочник технического переводчика
Колебания, при к рых физ. (или любая другая) величина изменяется во времени по синусоидальному закону, где х значение колеблющейся величины в момент времени t (для механич. Г. к., напр., смещение и скорость, для электрич. напряжение и сила тока) … Физическая энциклопедия
ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ - (см.), при которых физ. величина изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса (напр. изменения (см.) и скорости при колебании (см.) или изменения (см.) и силы тока при электрических Г. к.) … Большая политехническая энциклопедия
Характеризуются изменением колеблющейся величины x (напр., отклонения маятника от положения равновесия, напряжения в цепи переменного тока и т. д.) во времени t по закону: x = Asin (?t + ?), где А амплитуда гармонических колебаний, ? угловая… … Большой Энциклопедический словарь
Гармонические колебания - 19. Гармонические колебания Колебания, при которых значения колеблющейся величины изменяются во времени по закону Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Периодич. колебания, при к рых изменение во времени физ. величины происходит по закону синуса или косинуса (см. рис.): s = Аsin(wt+ф0), где s отклонение колеблющейся величины от её ср. (равновесного) значения, А=const амплитуда, w= const круговая … Большой энциклопедический политехнический словарь
Гармонические колебания
Графики функций f (x ) = sin(x ) и g (x ) = cos(x ) на декартовой плоскости.
Гармоническое колебание - колебания, при которых физическая (или любая другая) величина изменяется с течением времени по синусоидальному или косинусоидальному закону. Кинематическое уравнение гармонических колебаний имеет вид
,где х - смещение (отклонение) колеблющейся точки от положения равновесия в момент времени t; А - амплитуда колебаний, это величина, определяющая максимальное отклонение колеблющейся точки от положения равновесия; ω - циклическая частота, величина, показывающая число полных колебаний происходящих в течение 2π секунд - полная фаза колебаний, - начальная фаза колебаний.
Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде
(Любое нетривиальное решение этого дифференциального уравнения - есть гармоническое колебание с циклической частотой )
Виды колебаний
Эволюция во времени перемещения, скорости и ускорения при гармоническом движении
- Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия. Чтобы свободные колебания были гармоническими, необходимо, чтобы колебательная система была линейной (описывалась линейными уравнениями движения), и в ней отсутствовала диссипация энергии (последняя вызвала бы затухание).
- Вынужденные колебания совершаются под воздействием внешней периодической силы. Чтобы они были гармоническими, достаточно чтобы колебательная система была линейной (описывалась линейными уравнениями движения), а внешняя сила сама менялась со временем как гармоническое колебание (то есть чтобы зависимость от времени этой силы была синусоидальной).
Применение
Гармонические колебания выделяются из всех остальных видов колебаний по следующим причинам:
См. также
Примечания
Литература
- Физика. Элементарный учебник физики / Под ред. Г. С. Лансберга. - 3 изд. - М ., 1962. - Т. 3.
- Хайкин С. Э. Физические основы механики. - М ., 1963.
- А. М. Афонин. Физические основы механики. - Изд. МГТУ им. Баумана, 2006.
- Горелик Г. С. Колебания и волны. Введение в акустику, радиофизику и оптику. - М .: Физматлит, 1959. - 572 с.
Wikimedia Foundation . 2010 .
- Гмина Мальборк
- Народы Африки
Смотреть что такое "Гармонические колебания" в других словарях:
ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Современная энциклопедия
Гармонические колебания - ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ, периодические изменения физической величины, происходящие по закону синуса. Графически гармонические колебания изображаются кривой синусоидой. Гармонические колебания простейший вид периодических движений, характеризуется … Иллюстрированный энциклопедический словарь
Гармонические колебания - Колебания, при которых физическая величина изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса. Графически Г. к. изображаются кривой синусоидой или косинусоидой (см. рис.); они могут быть записаны в форме: х = Asin (ωt + φ) или х … Большая советская энциклопедия
ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ - ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ, периодическое движение, такое как движение МАЯТНИКА, атомные колебания или колебания в электрической цепи. Тело совершает незатухающие гармонические колебания, когда оно колеблется вдоль линии, перемещаясь на одинаковое… … Научно-технический энциклопедический словарь
ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ - колебания, при к рых физ. (или любая другая) величина изменяется с течением времени по синусоидальному закону: x=Asin(wt+j), где x значение колеблющейся величины в данный. момент времени t (для механич. Г. к., напр., смещение или скорость, для… … Физическая энциклопедия
гармонические колебания - Механические колебания, при которых обобщенная координата и (или) обобщенная скорость изменяются пропорционально синусу с аргументом, линейно зависящим от времени. [Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 106. Механические колебания. Академия наук … Справочник технического переводчика
ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ - колебания, при к рых физ. (или любая другая) величина изменяется во времени по синусоидальному закону, где х значение колеблющейся величины в момент времени t (для механич. Г. к., напр., смещение и скорость, для электрич. напряжение и сила тока) … Физическая энциклопедия
ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ - (см.), при которых физ. величина изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса (напр. изменения (см.) и скорости при колебании (см.) или изменения (см.) и силы тока при электрических Г. к.) … Большая политехническая энциклопедия
ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ - характеризуются изменением колеблющейся величины x (напр., отклонения маятника от положения равновесия, напряжения в цепи переменного тока и т. д.) во времени t по закону: x = Asin (?t + ?), где А амплитуда гармонических колебаний, ? угловая… … Большой Энциклопедический словарь
Гармонические колебания - 19. Гармонические колебания Колебания, при которых значения колеблющейся величины изменяются во времени по закону Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ - периодич. колебания, при к рых изменение во времени физ. величины происходит по закону синуса или косинуса (см. рис.): s = Аsin(wt+ф0), где s отклонение колеблющейся величины от её ср. (равновесного) значения, А=const амплитуда, w= const круговая … Большой энциклопедический политехнический словарь
