Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
ДВУГРАННЫЙ УГОЛ Учитель математики ГОУ СОШ №10 Еременко М.А.
Основные задачи урока: Ввести понятие двугранного угла и его линейного угла Рассмотреть задачи на применение этих понятий
Определение: Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой.
Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла. AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB -линейный угол двугранного угла ACD В
Докажем, что все линейные углы двугранного угла равны друг другу. Рассмотрим два линейных угла АОВ и А 1 ОВ 1 . Лучи ОА и ОА 1 лежат в одной грани и перпендикулярны ОО 1 , поэтому они сонаправлены. Лучи ОВ и ОВ 1 также сонаправлены. Следовательно, ∠ АОВ = ∠ А 1 ОВ 1 (как углы с сонаправленными сторонами).
Примеры двугранных углов:
Определение: Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных этими плоскостями.
Задача 1: В кубе A … D 1 найдите угол между плоскостями ABC и CDD 1 . Ответ: 90 o .
Задача 2: В кубе A … D 1 найдите угол между плоскостями ABC и CDA 1 . Ответ: 45 o .
Задача 3: В кубе A … D 1 найдите угол между плоскостями ABC и BDD 1 . Ответ: 90 o .
Задача 4: В кубе A … D 1 найдите угол между плоскостями ACC 1 и BDD 1 . Ответ: 90 o .
Задача 5: В кубе A … D 1 найдите угол между плоскостями BC 1 D и BA 1 D . Решение: Пусть О – середина В D. A 1 OC 1 – линейный угол двугранного угла А 1 В D С 1 .
Задача 6: В тетраэдре DABC все ребра равны, точка М – середина ребра АС. Докажите, что ∠ DMB – линейный угол двугранного угла BACD .
Решение: Треугольники ABC и ADC правильные, поэтому, BM ⊥ AC и DM ⊥ AC и, следовательно, ∠ DMB является линейным углом двугранного угла DACB .
Задача 7: Из вершины В треугольника АВС, сторона АС которого лежит в плоскости α , проведен к этой плоскости перпендикуляр ВВ 1 . Найдите расстояние от точки В до прямой АС и до плоскости α , если АВ=2, ∠ВАС=150 0 и двугранный угол ВАСВ 1 равен 45 0 .
Решение: АВС – тупоугольный треугольник с тупым углом А, поэтому основание высоты ВК лежит на продолжении стороны АС. ВК – расстояние от точки В до АС. ВВ 1 – расстояние от точки В до плоскости α
2) Так как АС ⊥ВК, то АС⊥КВ 1 (по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах). Следовательно, ∠ВКВ 1 – линейный угол двугранного угла ВАСВ 1 и ∠ВКВ 1 =45 0 . 3) ∆ВАК: ∠А=30 0 , ВК=ВА· sin 30 0 , ВК =1. ∆ВКВ 1: ВВ 1 =ВК· sin 45 0 , ВВ 1 =
Понятие двугранного угла
Для введения понятия двугранного угла, для начала вспомним одну из аксиом стереометрии.
Любую плоскость можно разделить на две полуплоскости прямой $a$, лежащей в этой плоскости. При этом, точки, лежащие в одной полуплоскости находятся с одной стороны от прямой $a$, а точки, лежащие в разных полуплоскостях -- по разные стороны от прямой $a$ (рис. 1).
Рисунок 1.
На этой аксиоме основан принцип построение двугранного угла.
Определение 1
Фигура называется двугранным углом , если она состоит из прямой и двух полуплоскостей этой прямой, не принадлежащих одной плоскости.
При этом полуплоскости двугранного угла называются гранями , а прямая, разделяющая полуплоскости -- ребром двугранного угла (рис. 1).
Рисунок 2. Двугранный угол
Градусная мера двугранного угла
Определение 2
Выберем на ребре произвольную точку $A$. Угол между двумя прямыми, лежащими в разных полуплоскостях, перпендикулярных ребру и пересекающихся в точке $A$ называется линейным углом двугранного угла (рис. 3).
Рисунок 3.
Очевидно, что каждый двугранный угол имеет бесконечное число линейных углов.
Теорема 1
Все линейные углы одного двугранного угла равняются между собой.
Доказательство.
Рассмотрим два линейных угла $AOB$ и $A_1{OB}_1$ (рис. 4).
Рисунок 4.
Так как лучи $OA$ и ${OA}_1$ лежат в одной полуплоскости $\alpha $ и перпендикулярны одной прямой, то они являются сонаправленными. Так как лучи $OB$ и ${OB}_1$ лежат в одной полуплоскости $\beta $ и перпендикулярны одной прямой, то они являются сонаправленными. Следовательно
\[\angle AOB=\angle A_1{OB}_1\]
В силу произвольности выборов линейных углов. Все линейные углы одного двугранного угла равны между собой.
Теорема доказана.
Определение 3
Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера линейного угла двугранного угла.
Примеры задач
Пример 1
Пусть нам даны две неперпендикулярные плоскости $\alpha $ и $\beta $ которые пересекаются по прямой $m$. Точка $A$ принадлежит плоскости $\beta $. $AB$ -- перпендикуляр к прямой $m$. $AC$ перпендикуляр к плоскости $\alpha $ (точка $C$ принадлежит $\alpha $). Доказать, что угол $ABC$ является линейным углом двугранного угла.
Доказательство.
Изобразим рисунок по условию задачи (рис. 5).
Рисунок 5.
Для доказательства вспомним следующую теорему
Теорема 2: Прямая, проходящая через основание наклонной, перпендикулярно ей, перпендикулярна её проекции.
Так как $AC$ - перпендикуляр к плоскости $\alpha $, то точка $C$ - проекция точки $A$ на плоскость $\alpha $. Следовательно, $BC$ -- проекция наклонной $AB$. По теореме 2, $BC$ перпендикулярна ребру двугранного угла.
Тогда, угол $ABC$ удовлетворяет всем требованиям определения линейного угла двугранного угла.
Пример 2
Двугранный угол равен $30^\circ$. На одной из граней лежит точка $A$, которая удалена от другой грани на расстояние $4$ см. Найти расстояние от точки $A$ до ребра двугранного угла.
Решение.
Будем рассматривать рисунок 5.
По условию, имеем $AC=4\ см$.
По определению градусной меры двугранного угла, имеем, что угол $ABC$ равен $30^\circ$.
Треугольник $ABC$ является прямоугольным треугольником. По определению синуса острого угла
\[\frac{AC}{AB}=sin{30}^0\] \[\frac{5}{AB}=\frac{1}{2}\] \
Тема урока: «Двугранный угол».Цель урока: введение понятия двугранного угла и его линейного угла.
Задачи:
Образовательная: рассмотреть задачи на применение этих понятий, сформировать конструктивный навык нахождения угла между плоскостями;
Развивающая: развитие творческого мышления учащихся, личностное саморазвитие учащихся, развитие речи учащихся;
Воспитательная: воспитание культуры умственного труда, коммуникативной культуры, рефлексивной культуры.
Тип урока: урок усвоения новых знаний
Методы обучения: объяснительно-иллюстративный
Оборудование: компьютер, интерактивная доска.
Литература:
Геометрия. 10-11 классы: учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.] – 18-е изд. – М. : Просвещение, 2009. – 255 с.
План урока:
Организационный момент (2 мин)
Актуализация знаний (5 мин)
Изучение нового материала (12 мин)
Закрепление изученного материала (21 мин)
Домашнее задание (2 мин)
Подведение итогов (3 мин)
Ход урока:
1. Организационный момент.
Включает в себя приветствие учителем класса, подготовку помещения к уроку, проверку отсутствующих.
2. Актуализация опорных знаний.
Учитель: На прошлом уроке вы писали самостоятельную работу. В целом работы написали неплохо. А теперь давайте немного повторим. Что называется углом на плоскости?
Ученик: Углом на плоскости называется фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки.
Учитель: Что называется углом между прямыми в пространстве?
Ученик: Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых с вершиной в точке их пересечения.
Ученик: Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным.
Учитель: Что называется углом между прямой и плоскостью?
Ученик: Углом между прямой и плоскостью называется любой угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
3.Изучение нового материала.
Учитель: В стереометрии наряду с такими углами рассматривается ещё один вид углов – двугранные углы. Вы, наверное, уже догадались какова тема сегодняшнего урока, поэтому откройте тетради, запишите сегодняшнее число и тему урока.
Запись на доске и в тетрадях:
10.12.14.
Двугранный угол.
Учитель : Чтобы ввести понятие двугранного угла, следует напомнить, что любая прямая, проведенная в данной плоскости, разделяет эту плоскость на две полуплоскости (рис.1,а)
Учитель : Представим себе, что мы перегнули плоскость по прямой так, что две полуплоскости с границей оказались уже не лежащими в одной плоскости (рис. 1, б). Полученная фигура и есть двугранный угол. Двугранным углом называется фигура, образованная прямой и двумя полуплоскостями с общей границей, не принадлежащими одной плоскости. Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями. У двугранного угла две грани, отсюда и название - двугранный угол. Прямая - общая граница полуплоскостей - называется ребром двугранного угла. Запишите определение в тетрадь.
Двугранным углом называется фигура, образованная прямой и двумя полуплоскостями с общей границей, не принадлежащими одной плоскости.
Учитель : В обыденной жизни мы часто встречаемся с предметами, имеющими форму двугранного угла. Приведите примеры.
Ученик : Полураскрытая папка.
Ученик : Стена комнаты совместно с полом.
Ученик : Двускатные крыши зданий.
Учитель : Правильно. И таких примеров огромное количество.
Учитель : Как вы знаете, углы на плоскости измеряются в градусах. Вероятно у вас возник вопрос, а как же измеряются двугранные углы? Это делается следующим образом. Отметим на ребре двугранного угла какую-нибудь точку и в каждой грани из этой точки проведем луч перпендикулярно к ребру. Образованный этими лучами угол называется линейным углом двугранного угла. Сделайте чертёж у себя в тетрадях.
Запись на доске и в тетрадях.
О ∈ а, АО ⊥ а, ВО ⊥ a , СА BD – двугранный угол, ∠ AOB – линейный угол двугранного угла.
Учитель : Все линейные углы двугранного угла равны. Сделайте себе ещё вот такой чертёж.
Учитель : Докажем это. Рассмотрим два линейных угла АОВ и PQR . Лучи ОА и QP лежат в одной грани и перпендикулярны OQ , значит, они сонаправлены. Аналогично лучи ОВ и QR сонаправлены. Значит, ∠ AOB = ∠ PQR (как углы с сонаправленными сторонами).
Учитель : Ну, а теперь ответ на наш вопрос как же измеряется двугранный угол. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла. Перерисуйте из учебника со страницы 48 изображения острого, прямого и тупого двугранного угла.
4.Закрепление изученного материала.
Учитель : Сделайте чертежи к задачам.
№ 1 . Дано: Δ ABC , АС = ВС, АВ лежит в плоскости α, CD ⊥ α, С ∉ α. Построить линейный угол двугранного угла CABD .
Ученик : Решение: CM ⊥ AB , DC ⊥ АВ. ∠ CMD - искомый.
№ 2. Дано: Δ ABC , ∠ C = 90°, ВС лежит плоскости α, АО ⊥ α, A ∈ α.
Построить линейный угол двугранного угла АВСО.
Ученик : Решение: AB ⊥ BC , АО ⊥ ВС, значит, ОС ⊥ ВС. ∠ ACO - искомый.
№ 3 . Дано: Δ ABC , ∠ С = 90°, АВ лежит в плоскости α, CD ⊥ α, С ∉ α. Построить линейный угол двугранного угла DABC .
Ученик : Решение: CK ⊥ AB , DC ⊥ АВ, DK ⊥ АВ, значит, ∠ DKC - искомый.
№ 4
. Дано:
DABC
- тетраэдр,
DO
⊥
ABC
.Построить линейный угол двугранного угла
ABCD
.
Ученик : Решение: DM ⊥ ВС, DO ⊥ ВС, значит, ОМ ⊥ ВС; ∠ OMD - искомый.
5.Подведение итогов.
Учитель: Что нового вы узнали сегодня на уроке?
Ученики : Что называется двугранным углом, линейным углом, как измеряется двугранный угол.
Учитель : Что повторили?
Ученики : Что называется углом на плоскости; углом между прямыми.
6.Домашнее задание.
Запись на доске и в дневниках: п. 22, №167, №170.
Данный урок предназначается для самостоятельного изучения темы «Двугранный угол». В ходе этого занятия учащиеся познакомятся с одной из самых важных геометрических фигур - двугранным углом. Также на уроке нам предстоит узнать о том, как определить линейный угол рассматриваемой геометрической фигуры и какой бывает двугранный угол при основании фигуры.
Повторим, что такое угол на плоскости и как он измеряется.
Рис. 1. Плоскость
Рассмотрим плоскость α (рис. 1). Из точки О исходят два луча - ОВ и ОА .
Определение . Фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки, называется углом.
Угол измеряется в градусах и в радианах.
Вспомним, что такое радиан.
Рис. 2. Радиан
Если мы имеем центральный угол, длина дуги которого равна радиусу, то такой центральный угол называется углом в 1 радиан. , ∠АОВ = 1 рад (рис. 2).
Связь радианов и градусов.
рад.
Получаем, рад. (). Тогда, 
Определение . Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а , не принадлежащими одной плоскости.
Рис. 3. Полуплоскости
Рассмотрим две полуплоскости α и β (рис. 3). Их общая граница - а . Указанная фигура называется двугранным углом.
Терминология
Полуплоскости α и β - это грани двугранного угла.
Прямая а - это ребро двугранного угла.
На общем ребре а двугранного угла выберем произвольную точку О (рис. 4). В полуплоскости α из точки О восстановим перпендикуляр ОА к прямой а . Из той же точки О во второй полуплоскости β восставим перпендикуляр ОВ к ребру а . Получили угол АОВ , который называется линейным углом двугранного угла.
Рис. 4. Измерение двугранного угла
Докажем равенство всех линейных углов для данного двугранного угла.
Пусть мы имеем двугранный угол (рис. 5). Выберем точку О и точку О 1 на прямой а . Построим линейный угол соответствующий точке О , т. е. проведем два перпендикуляра ОА и ОВ в плоскостях α и β соответственно к ребру а . Получаем угол АОВ - линейный угол двугранного угла.
Рис. 5. Иллюстрация доказательства
Из точки О 1 проведем два перпендикуляра ОА 1 и ОВ 1 к ребру а в плоскостях α и β соответственно и получим второй линейный угол А 1 О 1 В 1 .
Лучи О 1 А 1 и ОА сонаправленны, так как они лежат в одной полуплоскости и параллельны между собой как два перпендикуляра к одной и той же прямой а .
Аналогично, лучи О 1 В 1 и ОВ сонаправлены, значит, ∠ АОВ = ∠ А 1 О 1 В 1 как углы с сонаправленными сторонами, что и требовалось доказать.
Плоскость линейного угла перпендикулярна ребру двугранного угла.
Доказать : а ⊥ АОВ.
Рис. 6. Иллюстрация доказательства
Доказательство :
ОА ⊥ а по построению, ОВ ⊥ а по построению (рис. 6).
Получаем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым ОА и ОВ из плоскости АОВ , значит, прямая а перпендикулярна плоскости ОАВ , что и требовалось доказать.
Двугранный угол измеряется своим линейным углом. Это означает, что, сколько градусов радиан содержится в линейном угле, столько же градусов радиан содержится в его двугранном угле. В соответствии с этим различают следующие виды двугранных углов.
Острый (рис. 6)
Двугранный угол острый, если его линейный угол острый, т.е. .
Прямой (рис. 7)
Двугранный угол прямой, когда его линейный угол равен 90°- Тупой (рис. 8)
Двугранный угол тупой, когда его линейный угол тупой, т.е. 
.
Рис. 7. Прямой угол
Рис. 8. Тупой угол
Примеры построения линейных углов в реальных фигурах
АВС D - тетраэдр.
1. Построить линейный угол двугранного угла с ребром АВ .
Рис. 9. Иллюстрация к задаче
Построение :
Речь идет о двугранном угле, который образован ребром АВ и гранями АВ D и АВС (рис. 9).
Проведем прямую D Н перпендикулярно плоскости АВС , Н - основание перпендикуляра. Проведем наклонную D М перпендикулярно прямой АВ, М - основание наклонной. По теореме о трех перпендикулярах заключаем, что проекция наклонной НМ также перпендикулярна прямой АВ .
То есть, из точки М восстановлены два перпендикуляра к ребру АВ в двух гранях АВ D и АВС . Мы получили линейный угол D МН .
Заметим, что АВ , ребро двугранного угла, перпендикулярно плоскости линейного угла, т. е. плоскости D МН . Задача решена.
Замечание . Двугранный угол можно обозначить следующим образом: D АВС , где
АВ - ребро, а точки D и С лежат в разных гранях угла.
2. Построить линейный угол двугранного угла с ребром АС .
Проведем перпендикуляр D Н к плоскости АВС и наклонную D N перпендикулярно прямой АС. По теореме о трех перпендикулярах получаем, что НN - проекция наклонной D N на плоскость АВС, также перпендикулярна прямой АС. D NН - линейный угол двугранного угла с ребром АС .
В тетраэдре D АВС все ребра равны. Точка М - середина ребра АС . Докажите, что угол D МВ - линейный угол двугранного угла ВАС D , т. е. двугранного угла с ребром АС . Одна его грань - АС D , вторая - АСВ (рис. 10).
Рис. 10. Иллюстрация к задаче
Решение :
Треугольник ADC - равносторонний, DM - медиана, а значит и высота. Значит, D М ⊥ АС. Аналогично, треугольник A В C - равносторонний, В M - медиана, а значит, и высота. Значит, ВМ ⊥ АС.
Таким образом, из точки М ребра АС двугранного угла восстановлено два перпендикуляра DM и ВМ к этому ребру в гранях двугранного угла.
Значит, ∠DM В - линейный угол двугранного угла, что и требовалось доказать.
Итак, мы определили двугранный угол, линейный угол двугранного угла.
На следующем уроке мы рассмотрим перпендикулярность прямых и плоскостей, дальше узнаем что такое двугранный угол при основании фигур.
Список литературы по теме "Двугранный угол", "Двугранный угол при основании геометрических фигур"
- Геометрия. 10-11 класс: учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. - М.: Дрофа, 1999. - 208 с.: ил.
- Геометрия. 10 класс: учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-е издание, стереотип. - М.: Дрофа, 2008. - 233 с.: ил.
- Yaklass.ru ().
- E-science.ru ().
- Webmath.exponenta.ru ().
- Tutoronline.ru ().
Домашнее задание по теме "Двугранный угол", определение двугранного угла при основании фигур
Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.
Задания 2, 3 стр. 67.
Что такое линейный угол двугранного угла? Как его построить?
АВС D - тетраэдр. Построить линейный угол двугранного угла с ребром:
а) В D б) D С.
АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 - куб. Постройте линейный угол двугранного угла А 1 АВС с ребром АВ . Определите его градусную меру.
