Лучше считать в уме. Устный счет

Эта статья навеяна топиком «Как и насколько быстро вы считаете в уме на элементарном уровне?» и призвана распространить приёмы С.А. Рачинского для устного счёта.
Рачинский был замечательным педагогом, преподававшим в сельских школах в XIX веке и показавшим на собственном опыте, что развить навык быстрого устного счёта можно. Для его учеников не было особой проблемой посчитать подобный пример в уме:

Используем круглые числа

Один из самых распространённых приёмов устного счёта заключается в том, что любое число можно представить в виде суммы или разности чисел, одно или несколько из которых «круглое»:

Т.к. на 10 , 100 , 1000 и др. круглые числа умножать быстрее, в уме нужно сводить всё к таким простым операциям, как 18 x 100 или 36 x 10 . Соответственно, и складывать легче, «отщепляя» круглое число, а затем добавляя «хвостик»: 1800 + 200 + 190 .
Еще пример:
31 x 29 = (30 + 1) x (30 - 1) = 30 x 30 - 1 x 1 = 900 - 1 = 899.

Упростим умножение делением

При устном счёте бывает удобнее оперировать делимым и делителем нежели целым числом (например, 5 представлять в виде 10:2 , а 50 в виде 100:2 ):
68 x 50 = (68 x 100) : 2 = 6800: 2 = 3400; 3400: 50 = (3400 x 2) : 100 = 6800: 100 = 68.
Аналогично выполняется умножение или деление на 25 , ведь 25 = 100:4 . Например,
600: 25 = (600: 100) x 4 = 6 x 4 = 24; 24 x 25 = (24 x 100) : 4 = 2400: 4 = 600.
Теперь не кажется невозможным умножить в уме 625 на 53 :
625 x 53 = 625 x 50 + 625 x 3 = (625 x 100) : 2 + 600 x 3 + 25 x 3 = (625 x 100) : 2 + 1800 + (20 + 5) x 3 = = (60000 + 2500) : 2 + 1800 + 60 + 15 = 30000 + 1250 + 1800 + 50 + 25 = 33000 + 50 + 50 + 25 = 33125.

Возведение в квадрат двузначного числа

Оказывается, чтобы просто возвести любое двузначное число в квадрат, достаточно запомнить квадраты всех чисел от 1 до 25 . Благо, квадраты до 10 мы уже знаем из таблицы умножения. Остальные квадраты можно посмотреть в нижеприведённой таблице:

Приём Рачинского заключается в следующем. Для того чтобы найти квадрат любого двузначного числа, надо разность между этим числом и 25 умножить на 100 и к получившемуся произведению прибавить квадрат дополнения данного числа до 50 или квадрат избытка его над 50 -ю. Например,
37^2 = 12 x 100 + 13^2 = 1200 + 169 = 1369; 84^2 = 59 x 100 + 34^2 = 5900 + 9 x 100 + 16^2 = 6800 + 256 = 7056;
В общем случае (M - двузначное число):

Попробуем применить данный трюк при возведении в квадрат трёхзначного числа, разбив его предварительно на более мелкие слагаемые:
195^2 = (100 + 95)^2 = 10000 + 2 x 100 x 95 + 95^2 = 10000 + 9500 x 2 + 70 x 100 + 45^2 = 10000 + (90+5) x 2 x 100 + + 7000 + 20 x 100 + 5^2 = 17000 + 19000 + 2000 + 25 = 38025.
Хм, я бы не сказала, что это сильно легче, чем возведение в столбик, но, возможно, со временем можно приноровиться.
И начинать тренировки, конечно, следует с возведения в квадрат двузначных чисел, а там уже и до дизассемблирования в уме можно дойти.

Умножение двузначных чисел

Этот интересный приём был придуман 12-летним учеником Рачинского и является одним из вариантов добавления до круглого числа.
Пусть даны два двузначных числа, у которых сумма единиц равна 10:
M = 10m + n, K = 10a + 10 - n.
Составив их произведение, получим:

Например, вычислим 77 x 13 . Сумма единиц этих чисел равна 10 , т.к. 7 + 3 = 10 . Сначала ставим меньшее число перед большим: 77 x 13 = 13 x 77 .
Чтобы получить круглые числа, мы забираем три единицы от 13 и добавляем их к 77 . Теперь перемножим новые числа 80 x 10 , а к полученному результату прибавим произведение отобранных 3 единиц на разность старого числа 77 и нового числа 10 :
13 x 77 = 10 x 80 + 3 x (77 - 10) = 800 + 3 x 67 = 800 + 3 x (60 + 7) = 800 + 3 x 60 + 3 x 7 = 800 + 180 + 21 = 800 + 201 = 1001.
У этого приёма есть частный случай: всё значительно упрощается, когда у двух сомножителей одинаковое число десятков. В этом случае число десятков умножается на следующее за ним число и к полученному результату приписывается произведение единиц этих чисел. Посмотрим, как элегантен этот приём на примере.
48 x 42 . Число десятков 4 , последующее число: 5 ; 4 x 5 = 20 . Произведение единиц: 8 x 2 = 16 . Значит, 48 x 42 = 2016.
99 x 91 . Число десятков: 9 , последующее число: 10 ; 9 x 10 = 90 . Произведение единиц: 9 x 1 = 09 . Значит, 99 x 91 = 9009.
Ага, то есть, чтобы перемножить 95 x 95 , достаточно посчитать 9 x 10 = 90 и 5 x 5 = 25 и ответ готов:
95 x 95 = 9025.
Тогда предыдущий пример можно вычислить немного проще:
195^2 = (100 + 95)^2 = 10000 + 2 x 100 x 95 + 95^2 = 10000 + 9500 x 2 + 9025 = 10000 + (90+5) x 2 x 100 + 9000 + 25 = = 10000 + 19000 + 1000 + 8000 + 25 = 38025.

Вместо заключения

Казалось бы, зачем уметь считать в уме в 21 веке, когда можно просто подать голосовую команду смартфону? Но если задуматься, что будет с человечеством, если оно будет взваливать на машины не только физическую работу, но и любую умственную? Не деградирует ли оно? Даже если не рассматривать устный счёт как самоцель, для закалки ума он вполне подходит.

Использованная литература :
«1001 задача для умственного счёта в школе С.А. Рачинского» .

Умение быстро анализировать ситуацию, просчитывать варианты развития и составлять единое изображение реальности - это одно из ключевых умений высокоэффективных людей. Личностное развитие невозможно без интеллектуального, чему способствует быстрый счет в уме. В общем, о технике увеличения скорости мышления мы и поговорим в статье.

Как нас обманывает наш мозг

Исследования в области работы мозга приводят такие данные, в которые сложно поверить. Большая часть населения считает себя куратором мозга. Но это иллюзорное представление. На самом деле мозг уже принял решение за вас и посредством нервных импульсов передал его в сознание.

Мышление человека практически не изучено, составлена лишь малая картина происходящего в мозге. Грубо говоря, наши действия не определяются собственным "Я", хотя и это весьма расплывчатая формулировка. И зная это, можно приступать к изучению техники быстрого счета в уме.

Как эффективнее обучаться

Память дифференцируется на долговременную и краткосрочную, в первом случае знания откладываются в мозг навсегда. А второй вид необходим для зазубривания информации, чтения.

Современный молодой человек - это мультимедийная личность с клиповым мышлением. Отложить данные в долговременной памяти для него крайне сложно, ведь постоянное поступление информации захламляет его "жесткий диск".

Поэтому обучение методике быстрого счета в уме должно происходить в спокойном состоянии, когда человек не отвлекается на внешние раздражители. Иначе через несколько часов он все забудет.

А зачем мне это учить?

Да, в настоящий момент складывать цифры в уме нет надобности. Для этого придуманы специальные технические средства, но неиспользование мозга приводит к деградации личности.

А стремление к знаниям - это вечность. Такие люди уверены в себе, надеются только на собственные силы, а приобретенные навыки используются по назначению, тем самым обогащая индивида духовно и материально. Быстрый счет в уме развивает в человеке чувство контроля, увеличивает концентрацию внимания.

Способ первый. Для ленивых

Обладатели устройств на платформе Andorod и IOS могут скачать развивающие приложения и игры. Нейробиологи советуют комплексно подходить к быстрому счету в уме. Обучение происходит в несколько этапов, описанных ниже:

Загружаются приложения для развития внимания, концентрации т. п.
Затем пользователь скачивает развивалки для памяти.

В первом действии человек подготавливает свой мозг, так сказать, разогревает его для усиленных занятий. После чего приступает к работе над счетом в уме. Обратите внимание, приложения должны легко регулироваться, как снижение или повышение уровня сложности заданий, так и изменение времени на работу над ним.

Способ второй. Базовые знания

Для быстрого старта подобраны задания начального уровня. Сложение и вычитание небольших цифр, например 3 и 10. Техника называется «Опора на десяток».

Порядок действий:

Задавайте вопросы простого характера, типа сколько 3 + 8 или 9 + 1. Ответ: 11 и 10.
Сколько не хватает числу 10, чтобы стать 14? Ответ: 4.
Затем возьмите любое число, к примеру, 9, и узнайте, сколько 2 в этом числе, и при нехватке добавьте недостающие цифры. Ответ: четыре двоек + 1.
Прибавьте число из второго действия (4) к той части, которой недоставало для получения (1) девяти и сложите их. Ответ: 5.

Отточите свой навык до совершенства и только потом приступайте к более сложным тестам.

Способ третий. Многозначные числа

Здесь используются навыки, которые приобретены в школе. Сложение в столбик или в строчку - самое популярное среди школьников и студентов без вычислительных средств. Разберем на примере двух чисел: 1345 и 6789. Для начала дифференцируем их:

Число 1234 - состоит из 1000, 200, 30 и 4.
А 6789 - из 6000, 700, 80 и 9.

Быстрый счет в уме проходит по следующим действиям:

Изначально складываются однозначные значения, это 4 + 9 = 13.
Складывается 30 + 80 = 110.
Переходим к трехзначным, 700 + 200 = 900.
И затем считаем четырехзначные: 1000 + 6000 = 7000.
Суммируем: 7000 + 900 + 110 + 13 = 8023 и проверяем на калькуляторе.

И более быстрый, но требующий фантазии способ:

Представляем в голове одно число над другим.
Складываем числа, начиная с их конца.
Если 4 + 9 = 13, то откладываем единицу в голове и прибавляем к итоговому значению следующие числа.

На скриншоте этот способ представляется так, в ваших мыслях он должен иметь аналогичную структуру.

Способ четыре. Вычитание

Как и со сложением, вычитание начинается с вводного урока. Внимание человека должно быть сконцентрировано исключительно на подсчете числовых значений. Отвлекаться на посторонние шумы нельзя, иначе ничего не выйдет. На этот раз вычтем из 10 8 и посмотрим, что из этого выйдет:

Для начала узнаем, сколько надо вычесть из десяти, чтобы получить восемь. Ответ: два.
Из десяти вычитаем восемь по частям - для начала эту двойку, а затем остальные числа. И посчитаем, сколько надо раз отнять, чтобы получить ноль. Ответ: пять.
Вычитаем из десяти пятерку. Ответ: пять.
И от восьми отнимаем полученный ответ. Ответ: три.

Способ пять. Комбинированный

Появился в результате взаимодействия сложения и вычитания. Суть простая, необходимо взять число и начать отнимать от него различные числа или прибавлять с некоторыми реформациями. За исходное принимается число 9, начнем:

От девяти отнимается шесть и одновременно прибавляется четыре. Ответ: семь.
Семь разбивается на составные части, к примеру: 2 + 3 + 2.
И к каждому прибавляется рандомное значение, возьмем 2. Получается, 2 + 2 = 4, 3 + 2 = 5 и 2 + 2 = 4.
Суммируем полученные числа: 4 + 5 + 4 = 13.
Вновь располагаем значение по частям и повторяем действия, используя только вычитание.

А с вычитанием больших чисел ситуация аналогична сложению. Все действия проговаривайте вслух, чтобы работало несколько видов памяти и ускорялся быстрый счет в уме.

За какой период времени можно стать сверхчеловеком?

Основных математических действий четыре:

Вычитание.
Сложение.
Умножение.
Деление.

И все будет зависеть от того, насколько часто человек занимается тренировками мозга. При плодотворной работе в течении 15-20 минут в день заметный результат наступит через два или три месяца. Для сохранения эффекта скоростного вычисления сверхчеловеку надо будет уделять всего 2-3 минуты в день на повторение пройденного. А через несколько лет это войдет в привычку, и индивид и замечать не будет, как он считает в уме.

Как научиться быстро считать в уме? Не так уж сложно, как многие думают. Для этого вовсе не надо быть математическим гением. Достаточно выучить несложные правила и методы счета в уме, чтобы значительно увеличить скорость вычислений.
1 При сложении многозначных слагаемых прибавьте старший разряд меньшего числа, затем младший разряд. Например, при прибавлении двузначного числа, сначала прибавляются десятки, затем единицы. При сложении двухзначных чисел сначала сложите все десятки, затем все единицы, после этого прибавьте единицы к общему числу десятков.
2 При вычитании многозначных чисел сначала отнимите старшие разряды вычитаемого, затем его младшие разряды. Чтобы научиться быстро считать в уме нужно помнить, что если вычитаемое близко по значению к круглому числу, то сначала нужно отнять это круглое число, а потом сделать поправку.
3 При умножении на число, которое изображается единицей с нулями, например, 10 или 100, нужно приписывать к множимому числу столько нулей, сколько имеет множитель. При делении на число, которое изображается единицей с нулями, нужно отделять запятой такое количество последних цифр, сколько нулей имеет делитель.
4 Чтобы научиться быстро считать в уме, нужно запомнить, что умножая число на 4, нужно сначала умножить его на 2, затем снова на 2. Например, 214х4=428х2=856. При делении на 4 сначала разделите число на 2, затем снова на 2. Например, 116:4=58:2=29.
5 При делении на 8 или 16 нужно 3 или 4 раза последовательно поделить число на 2. Например, 448:8=224:4=112:2=56.
6 При умножении на 25 умножьте число на 100 и поделите на 4. При делении на 25 умножьте число на 4 (2 раза на 2) и поделите на 100.
7 При умножении числа на 50 умножьте число на 100 и поделите пополам, при делении числа на 50, сначала удвойте число, затем поделите на 100.
8 При умножении какого-либо числа на 9 или 11, увеличьте его в 10 раз, затем от получившегося числа отнимите само данное число. Например, умножаем 87 на 11: увеличив 87 в 10 раз, получаем 870, к этому числу прибавляем 87, получается 957.
Еще методы:
Хитрые приемчики счета в уме
Умножение чисел от 10 до 20
К одному из чисел прибавляем количество единиц другого, сумму умножаем на 10 и прибавляем произведение единиц чисел.
Например:
15 х 17 = (15 + 7) х 10 + 5 х 7 = 220 + 35 = 255
Примечание. Не веришь? Возьми калькулятор и убедись. У меня всё без обмана. Но в случае, например, 98 х 12 это правило уже не работает, т.к. 98 больше, чем 20.
Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 5
Число, оканчивающееся на 5, возводим в квадрат так: 100 х (количество десятков числа) х (количество десятков + 1) + 25.
Например:
Возведем 35 в квадрат:
100 х 3 х (3+1) + 25 = 300 х 4 + 25 = 1225
Умножение на 5, 50, 25 и 125
Умножая число Х на эти числа, удобно пользоваться такими выражениями:
X x 5 = X x 10: 2
X x 50 = X x 100:2
X x 25 = X x 100:4
X x 125 = X х 1000:8
Например:
22 x 5 = 22 x 10: 2 = 220: 2 = 110
34 x 50 = 34 x 100: 2 = 3400: 2 = 1700
46 x 25 = 46 x 100: 4 = 4600: 4 = 1150
64 x 125 = 64 x 1000: 8 = 64000: 8 = 8000
Деление на 5, 50, 25
При делении числа Х на эти числа удобно иметь в виду, что:
X: 5 = X x 2:10
X: 50= X x 2: 100
X: 25 = X x 4: 100
Например:
75: 5 = 75 x 2: 10 = 150: 10 = 15
4350: 50 = 4350 x 2: 100 = 8700: 100 = 87
8600: 25 = 8600 x 4: 100 = 34400: 100 = 344
Быстрое сложение и вычитание натуральных чисел, хитрость 1
Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, то из полученной суммы надо вычесть столько же единиц.
Например:
654 + 348 = (654 + 348 + 2) - 2 = 1004 - 2 = 1002
Быстрое сложение и вычитание натуральных чисел, хитрость 2
Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, а второе уменьшить на столько же единиц, то сумма не изменится.
Например:
334 + 768 = (334 + 6) + (768 - 6) = 340 + 762 = 1102
Быстрое сложение и вычитание натуральных чисел, хитрость 3
Если к вычитаемому и уменьшаемому прибавить (или отнять) одно и то же количество единиц, то разность не изменится.
Например:
345 - 229 = (345 + 5) - (229 + 5) = 350 - 234 = 116
Быстрое умножение натуральных чисел
Чтобы получить единицы произведения, перемножим единицы множителей. Для получения десятков произведения умножают десятки одного множителя на единицы другого и наоборот и результаты складывают. Для получения сотен перемножаем десятки множителей.
Например:
Умножим 43 х 57:
А) 3 х 7 = 21 (пишем в результате 1 справа, а в уме держим 2)
Б) 4 х 7 + 3 х 5 + 2 (из ума)(пишем 5 левее от 1 из пункта "а", в уме держим 4)
В) 4 х 5 + 4 (из ума) = 24 (пишем 24 слева от 5)
В итоге: 43 х 57 = 2451.
Для не двузначных чисел действуем аналогично.
Примечание. Вообще, в начальной школе данная метода называется просто-напросто "умножение столбиком", но начальная школа - это было так давно, правда?..
Умножение чисел, у которых число десятков одинаково, а сумма единиц равна 10
Число десятков любого из множителей умножить на число, которое больше на 1, затем перемножить отдельно единицы этих чисел, после чего к первому результату приписать второй справа.
Например:
Умножим 303 на 307:
А) 30 х (30 +1) = 900 + 30 = 930
Б) 3 х 7 = 21
Записываем первый результат, а справа - второй:
93021
Умножение числа Х на двузначное число вида YY
Умножаем Х на Y (на одну цифру), а потом на 11.
Например:
12 х 44 = (12 х 4) х 11 = 48 х 11 = 480 + 48 = 528
Умножение на 11
Чтобы умножить число Х на 11, представим 11 как сумму 10 + 1.
Например:
15 х 11 = 15 х (10 + 1) = 150 + 15 = 165
123 х 11 = 123 х (10 + 1) = 1230 + 123 = 1353
Умножение на 11 двузначного числа с суммой цифр меньше 10
Если сумма цифр умножаемого на 11 двузначного числа Х меньше 10, то "вставляем" сумму цифр между самими цифрами Х и, таким образом, получаем произведение.
Например:
36 х 11 = 3 (между цифрами вставляем сумму 3+6=9) 6 = 396
17 х 11 = 1 (между цифрами вставляем сумму 1+7=8) 7 = 187
Примечание. Этот способ годится только для двузначных чисел!
Умножение на 111 двузначного числа с суммой цифр меньше 10
Если сумма цифр умножаемого на 111 двузначного числа Х меньше 10, то дважды "вставляем" сумму цифр между цифрами Х и, таким образом, получаем произведение.
Например:
52 х 111 = 5 (между цифрами дважды вставляем сумму 5+2=7) 2 = 5772
Умножение на 11 трехзначного числа
Чтобы умножить трехзначное число Х на 11:
1. Произведение будет четырехзначным. Цифра тысяч в произведении - это цифра сотен числа.
2. Цифра сотен произведения - это цифра сотен Х плюс цифра десятков Х.
3. Цифра десятков произведения - это цифра десятков Х плюс цифра единиц Х.
4. Цифра единиц произведения - это цифра единиц числа Х.
Например:
2 - цифра тысяч произведения,
2 + 4 = 6 - цифра сотен произведения,
4 + 5 = 9 - цифра десятков произведения,
5 - цифра единиц произведения.
245 х 11 = 2695
В случае, если сумма двух цифр больше 9, то от суммы отнимается 10 и получившаяся разность записывается вместо суммы, а к старшему (соседнему слева) разряду прибавляется 1.
Например:
4 - цифра тысяч произведения,
4+8 = 12. 12-10 = 2. 2 - цифра сотен произведения. К разряду тысяч прибавляем 1: 4+1 = 5.
8+9 = 17. 17-10 = 7. 7 - цифра десятков произведения. К разряду сотен прибавляем 1: 2+1 = 3.
9 - цифра единиц произведения.
489 х 11 = 5379
Умножение на число, состоящее только из цифр 9
Допустим, нужно умножить 154 на 999 (99, 9999 или любое другое число из девяток). Вычисляем так:
154 х 999 = 154 х (1000 -1) = 154000 - 154 = 153999 - 153 = 153846
Примечание. Обрати внимание на 154000-154 = 153999 - 153. Это не обязательный шаг, но еще один способ сделать вычисления проще.
Сложение чисел, близких по величине
Допустим, нужно сложить последовательность чисел, близких друг к другу по величине:
23 + 21 + 19 + 22 + 17 + 24 = ?
Записываем числа в следующем виде:
Тогда сумма этих чисел:
20 х 6 + (3+1-1+2-3+4) = 120 + 6 = 126
Вычитание из 100, 1000, 10000 и прочих степеней 10
Все мы помним, надеюсь, что вычитание столбиком производится начиная с младшей (самой левой) цифры. Но при вычитании из 100, 1000, 10000 и других степеней десятки это правило можно нарушить.
Начиная со старшей (самой правой), вычитаем каждую цифру из 9. Последнюю, самую левую цифру, вычитаем из 10.
Например:
1) 100 - 57 = ?
10 - 7 = 3 (последнюю цифру вычитаем из 10, а не из 9)
2) 1000000 - 546721 = ?
Ответ: 453279
3) 100000 - 548 = ?
100000 - 548 = 100000 - 00548
Ответ: 99542
Примечание. Хочешь удивить друзей? Попроси их записать число с любым количеством нулей и любое другое число, которое надо из него вычесть. Как только задание будет записано, не тратя на раздумья ни секунды, начинай диктовать ответ по цифре. :-)

Не секрет, что есть некоторые люди, умеющие производить средне-сложные арифметические операции в уме с завидной скоростью. Для них не составляет труда, например, перемножить два двухзначных числа или поделить несколько трехзначных величин друг на друга. Они делают это быстро и без помощи дополнительных устройств и даже не пользуются записями, то есть производят вычисления в уме! Понятное дело, для многих не составляет труда вопрос о том, как научиться быстро считать в уме – это ежедневная практика, вынужденная работа или род деятельности. Но это не означает, что любой из нас, желающий узнать, как научиться считать в уме, обязан закончить математический ВУЗ. Итак, речь сегодня пойдет о том, как научиться считать. Быстро считать!

Учимся считать быстро, необходимая подготовка

Без сомнений, ваш опыт и тренировка способностей сыграют важную роль в развитии подобных способностей. Но это ни в коем случае не означает того, что навык быстрого счета доступен только людям с опытом. Считать в уме – это путь рационализации, опирающийся на базовую арифметику. Следуя нашим советам о том, как быстро научиться считать, вы сможете удивлять окружающих скорым решением примеров, которые не все могут решить даже при помощи калькулятора.

Что же необходимо Вам, чтобы быстро овладеть техникой моментального подсчета «в уме»? Основные составляющие успеха можно разделить на три группы:

Предрасположенности и способности. Хорошим подспорьем станет ваш аналитический склад ума. Умение удерживать в памяти несколько величин единовременно обязательно.
Непосредственно алгоритмы Вашего мышления. Научиться считать быстро можно лишь путем строгой алгоритмизации своих действий, их рационализацией и умением подобрать необходимый метод в конкретной ситуации. О ситуациях и прочем мы поговорим чуть позже.
Тренировка и практика навыков. Никто не отменял важности этих действий ни в одном направлении деятельности, а особенно в деятельности умственной. Чем больше вы будете тренироваться и выполнять различных вычислений, тем лучше у вас это будет получаться.

Следует обратить внимание на третий фактор развития навыка быстрого счета. Даже прекрасно ориентируясь во всех существующих алгоритмах, вам навряд ли удастся научиться считать быстро, если будет отсутствовать достаточное количество практики.

Хитрости и базовые алгоритмы, как быстро считать

Рассмотрим несколько общепринятых упрощений счета, с их помощью вам удастся научиться считать быстро. Обращу ваше внимание также на то, что никто не запрещает вам импровизировать – математика тем и замечательна, что при всей своей точности и строгости не запрещает действовать красиво, подобно искусству. А навык считать быстро – это именно искусство! Итак, некоторые хитрости, как научиться считать быстро.

Допустим, вам необходимо произвести сложение многозначных слагаемых. Легко! Слагайте разрядами: к большему числу прибавьте старший разряд меньшего числа, затем уже суммируйте с младшими разрядами. Допустим, вам надо сложить 361 и 523. Сразу удержать в памяти будет не просто, согласитесь? Поэтому наш ход действий будет таков:

Меньше число определили – 361.
Что такое 361? Это 300+60+1. Сложно оспорить, если стремиться быть рациональным.
К 523 прибавим сначала 300. Получаем 823.
Затем прибавим 60 – получаем 883.
И в завершении - наша единичка, прибавленная к сумме, полученной ранее, даст нам результат 884.

Вот видите, было куда проще держать 3 числа в голове, чем единовременно складывать два трехзначных! У нас начинает получаться считать быстро в уме!

То же самое проделывайте и с вычитанием, но только лишь последовательным отнятием разрядов мы не добьемся необходимой скорости! Можно несколько схитрить, добавив в наш арсенал еще один навык – нарастить/отнять до круглого (удобного числа).

Например, вам необходимо отнять 93 от 250. Ну неудобно же!

А что такое 93? Правильно, это 100-7!

250 – 100 = 150.

Делаем поправку на наше «исправление» числа. Если мы добавляли – необходимо добавить к частному, и наоборот. В нашем случае мы «нарастили» число 93 до 100, прибавив 7. Значит, к частному добавляем 7.

Проверьте на калькуляторе. Заметно больше времени ушло на набор цифр, чем на вычисление? Это признак того, что вам уже неплохо дается навык, как считать быстро в уме!

Теперь с умножением. Ускорить счет можно разными путями. Например, при перемножении чисел разбивайте множители на множители второго уровня.

Например:

Куча путей к решению! И тут ваш алгоритм может отличаться от путей других людей – не пугайтесь, на то мы, гении, народ и уникальный =)

Можно так: 12 = 3х4. Умножаем 150 х 4 = 600, затем 600 х 3 = 1800.

Я не задумываясь, стал считать так: 12 = 10 + 2. А теперь элементарно: (150 х 10) + (150 х2). Все это элементарные школьные правила, которые мы, к сожалению, забываем. Несложно заметить, что в этом случае считать практически не придется – дописать ноль к 150, получив полторы тысячи, да умножить 150 на 2, получив 300. Результат тот же, 1800.

Исходя из опыта быстрого умножения, несложно догадаться, как быстро делить числа в уме. Можно вновь пойти разными путями, от параллельного деления на упрощенный делитель делимого до округления делимого вплоть до элементаризации деления с поправкой.

Например:

Для начала отбросьте одинаковое кол-во нулей. В этом примере это просто - 39:4. Наш мозг гораздо охотнее оперирут с маленькими числами, чем с многоразрядными величинами.

Вы наверняка заметили, что число 39 так и хочется округлить до 40. Ну так что нам мешает? (39+1):4 = 10.

Но изменив делимое, нам необходимо откорректировать ответ. Итак, очевидно, что он будет меньше 10, так как мы прибавляли к делимому некое число 1. Теперь нам нужно отнять от 10 результат деления числа-корректора на делитель (4). Если бы мы отнимали, то процедура была бы обратной, это само собой разумеется.

Итак, 1:4 = 0.25

Ответ: 9.75 (9 3 / 4)

Гораздо проще нашему мозгу воспринимать натуральные дроби, то есть представляем 0.25 как 1/4 (одна четвертая, четверть), и дальше будет совсем легко быстро посчитать в уме результат!

Помните, не так сложно понять, как быстро научиться считать. Куда сложнее быстро подобрать метод к конкретной ситуации, но это решается с помощью колоссальной практики.

Одна из главных причин плохих результатов по математике на ОГЭ или ЕГЭ – это неумение считать. Многие школьники затрудняются решить пример даже на листочке, не говоря уже о быстром счете в уме. А ведь некоторые участки мозга атрофируются, если человек не пользуется умственными навыками. Поэтому важно развивать умственные способности в полном объеме.

Основа для развития навыка счета в уме

Некоторые родители считают, что обучать ребенка быстро считать примеры в уме необязательно: в дальнейшем ему это не пригодится, ведь всегда можно воспользоваться калькулятором. Но при этом они забывают о том, что для развития мозга такая тренировка просто необходима: любой изученный метод (прием) счета – это новая нейронная цепочка (связь), чем таких цепочек больше, тем умнее школьник. Поэтому основная польза навыка быстрого счета – это развитие мозга, интеллекта.

Невозможно научиться работать с числами в голове, если иметь слабое представление о них и действиях с ними.

Умение счета развивается постепенно от визуально-наглядного представления чисел и действий с ними до абстрактно-логического:

Сначала ребенок учится считать в прямом и обратном порядке с помощью стишков, потешек, практических упражнений во время прогулки, принятия пищи игры (посчитать, сколько предметов на столе, машинок в гараже, птичек на дереве). Знакомится с цифрами, узнает, что они обозначают, учится соотносить цифру и количество.
Затем осваивает понятия «больше — меньше», «поровну», учится сравнивать количество предметов, размеры.
После этого знакомится со сложением и вычитанием, узнает смысл этих действий. Все примеры носят наглядный характер (к двум яблокам ребенок придвигает еще 2 яблока и считает, сколько получится).
Учится считать предметы глазами, проговаривает сначала вслух действия и результат действий, а потом — шепотом:если добавить к 4 машинкам еще 2, то получится 6.
Многократное повторение действий приведет к тому, что малыш научится распознавать примеры, с которыми уже работал и называть результат вслух, минуя этап проговаривания.

Важно на этапе обучения счету заинтересовать ребенка, поддерживать его в случае неудачи и радоваться вместе с ним победам, пусть даже и маленьким. Когда , навык нужно будет развивать, знакомя школьника с различными приемами и методиками.

Развитие навыка счета в уме

Совершенствование умения работать с числами в голове.
Знакомство с новыми приемами и методиками.
Тренировка умения подбирать оптимальный алгоритм решения в каждом конкретном случае.

Умение работать с числами

Развивать подобный навык позволят упражнения:

«Назови числа, в которых …» — указывается диапазон и условие, например «Назови числа от 5 до 50, в которых есть цифра 3» или «Назови все двузначные числа, в которых есть цифра 0». При выполнении данного упражнения важно сразу прорабатывать все ошибки, допущенные учеником. Если он пропустил число или назвал неправильное, то начинает сначала.
«Ведение прогрессии» (диапазон и арифметические действия зависят от возраста и развития навыка счета). Например, «Иди от 5 с шагом 3» или «Иди в обратном порядке от 30 с шагом 4» — для детей начальной школы. Для тех, кто уже выучил таблицу умножения, можно давать задания на умножение и деление: «Иди от 2, умножая все числа на 3».
«Найди числа от 1 до …» — детям нужно найти и назвать по порядку все числа в таблице.
«Сравни числа» — дети определяют, какое из них больше (меньше), на сколько;
«Примеры» — школьникам предлагают решить в уме примеры, сначала простейшие (с маленькими числами), после отработки числа постепенно увеличивают. Не стоит знакомить ребенка с двузначными или трехзначными числами, если он не умеет в совершенстве выполнять действия с числами до 5.

Приемы быстрого счета чисел

К сожалению, единого – универсального – способа, позволяющего решать все примеры одинаково быстро, просто не существует. Поэтому важно знать и уметь применять на практике несколько методов, из которых потом выбирать наиболее целесообразный.

Полезные алгоритмы решения некоторых примеров:

Чтобы быстро вычесть из числа 7, 8 ил 9, нужно сначала вычесть 10, а затем прибавить 3,2 или 1 соответственно. Например: 45-9=45-10+1=36, или 36-8=36-10+2=28.
Быстро умножить на 4, 8 и 16 тоже можно. Для этого нужно сначала вспомнить, что 4=2*2, 8=2*2*2, 16=2*2*2*2. Затем просто умножить число на2 несколько раз: 6*16=6*2*2*2*2=96.
Чтобы умножить число на 9, его сначала увеличивают в 10 раз, а затем от полученного отнимают первый множитель: 27*9=27*10-27=243. Этот прием позволит очень быстро найти результат умножения на 9, если не пользоваться калькулятором.
Некруглые числа при умножении на 2 удобнее округлить, а затем вычесть или добавить (в зависимости от того, в какую сторону округляли) произведение оставшегося или недостающего числа на 2: 132*2=130*2+2*2=264, или 138*2=140*2-2*2=276.
Аналогично числа делят на 2: 156/2=150/2+6/2=78, или 156/2=160/2-4/2=78.
Чтобы умножить на 5, число делят на 2, а затем увеличивают в 10 раз (действия можно произвести наоборот): 27*5=27/2*10 или 27*10/2=135.
Подобные действия производят при умножении на 25: сначала делят на 4, а потом увеличивают в 100 раз (просто приписывают два нуля): 16*25=16/4*100=400. Конечно, таким способом удобнее пользоваться, когда первый множитель делится без остатка на 4. Определить, делится ли число на 4 без остатка несложно (нетабличные случаи): число, состоящее из двух его последних цифр, должно делиться на 4. Например, число 124 делится на 4 (24/4=6), а 526 – нет (26 не делится на 4 без остатка).

И еще один способ умножения на многозначного числа на однозначное – нужно умножить разрядные слагаемые на второй множитель и результаты сложить. Например, 424*5=400*5+20*5+4*5=2000+100+20=2120.

Чтобы не ошибиться в подсчетах важно уметь прогнозировать будущий результат, и здесь помогут несколько утверждений:

При умножении однозначных чисел, результат не превышает 81: 9*9=81.
Аналогично, 99*99=9801, поэтому результат умножения двузначных чисел не должен быть больше этого числа, а при увеличении трехзначных чисел максимальное число – 998001.

Отработка навыка счета в уме

Указанные выше алгоритмы – это основа для развития навыка устного счета. Научиться считать сложные примеры можно только при регулярной тренировке, доведении использования навыка до автоматизма.

Эффективность работы в этом направлении можно повысить, если во время занятий:

Создать игровую ситуацию , превращающую обыденный учебный процесс в интересный и необычный процесс.
Поддерживать увлеченность ребенка интересным материалом постоянной сменой деятельности.
Создать дух соперничества – осознание, что кто-то может сделать лучше, заставит стремиться к новым достижениям, такие занятия будут более эффективны, чем заучивание «в одиночку».
Фиксировать личные достижения , ставить новые цели по достижению новых вершин.

Умение концентрироваться на решении задачи в любой ситуации (даже когда мешают другие) также способствует развитию навыка счета (да и не только). Тренировать эту способность можно, решая примеры при включенной музыке или, находясь в шумной компании.

Чтобы ребенку не стало скучно, важно научиться бороться с этим чувством. Психологи рекомендуют использовать для этого любые действия: например, рассматривать, что происходит за окном, или наблюдать за движением часовых стрелок. Если малыш научится справляться со скукой, направлять свою энергию в нужное русло, то на уроках он сможет усвоить больший объем информации, что положительно скажется на его успеваемости .